A ben pensarci, a scuola, sono una enormità le nozioni che ci sono state impartite senza spiegazione.
L'aritmetica é in essenza, lo studio delle operazioni sui numeri. E'quella che impariamo da ragazzini sui banchi di scuola.
5 per 12, 60 diviso 3, etc sono operazioni aritmetiche.
Alla scuola elementare, in aritmetica, impariamo i numeri interi, poi i numeri razionali (le frazioni), poi le radici, e poi ci fermiamo. I numeri negativi se non ricordo male li ho affrontati nella scuola media.
Che cosa diavolo significa -3?
Perché un numero moltiplicato per zero dà zero?
E soprattutto: perché meno per meno fa più?
Mi ricordo che in classe presi questi insegnamenti come assiomi.
Ma NON sono assiomi, cioè non sono verità apodittiche che discendono dal cielo e sono indimostrabili.
Di fatto, oggi vedremo, intuitivamente, come mai meno per meno fa piú. E useremo l'intuizione. In particolare, la nozione di credito e debito. Non so se altri hanno adoperato la stessa spiegazione, ma a me é quella che torna piú "intuitiva".
Sapevate che i romani non conoscevano lo zero?
Lo zero, o zephirus, fu introdotto dal grande Fibonacci nel 1200. Ho giá scritto di Fibonacci, spiegando che sono state le innovazioni in campo finanziario a dare enorme spinta alla matematica, in particolare sulla statistica e il calcolo differenziale. Assicurazioni, banche, opzioni, derivati si tengono in piedi con strumenti inventati secoli fa per far fronte a problemi pratici. Un giorno scriveró della importanza enorme che il Liber Abaci, mai nemmeno nominato alle superiori (solo Dante) ha avuto per far nascere il Rinacimento.
Leonardo Pisano detto il Fibonacci (1170 -1250)
Torniamo a noi.
Lo zero è un elemento fondamentale nella aritmetica, cui non dedichiamo abbastanza attenzione.
Discrimina la soglia fra numeri negativi, e numeri positivi.
Immaginate di trovarvi su una strada rettilinea. Siete in mezzo alla strada e guardate la strada di fronte a voi, Per ogni passo in avanti, vi spostate di +1. Se fate tre passi, sono tre volte +1 e quindi +3.
Se vi spostate di un passo indietro, vi spostate di -1. Se fate tre passi indietro, sono tre volte -1 e quindi -3.
Potete quindi considerare la vostra posizione iniziale, sulla strada, come zero.
E' intuitivo comprendere che 3*(-1 passo indietro) = -3 passi indietro; quindi un numero positivo moltiplicato per uno negativo produce un numero negativo.
Potete anche decidere di saltare all'indietro una volta, e coprire una distanza pari a -3 con un singolo passo.
Cioé, -1* (3) = -3, ovvero faccio 1 lungo passo indietro e copro una distanza di 3.
Quindi la moltiplicazione é commutativa, posso fare tre piccoli passi lunghi 1, oppure 1 lungo passo lungo 3. Il risultato non cambia.
Intuitivo.
Veniamo allo zero.
Perché un numero moltiplicato per zero dà zero?
Potete immaginare una torta. Se vi do zero di una fetta di torta quanta torta vi spetta? Zero, appunto.
La moltiplicazione di una quantità per zero non è banale, è come dire che moltiplico qualcosa che esiste per qualcosa che ...non esiste, zero appunto. Lo zero é invezione recente in Europa, datata 1200. E' un concetto intuitivo di limite. Prendo metá di una torta, poi ne prendo la metá della metá, poi la metá della metá...alla fine, dopo una infinitá di frazionamenti, della torta rimane...zero!
Quindi zero di qualcosa, é lo stesso che dire zero per un numero, che fa zero.
Anche questo, intuitivo se ci pensiamo un po'su.
Moltiplicare per un numero negativo é come cambiare direzione. Col meno, ci spostiamo indietro; col piú, ci spostiamo in avanti.
Quindi dire -2 significa spostarsi indietro di due passi.
Dire -3 significa spostarsi indietro di tre passi.
E allora -2 * -3?
Scriviamola cosí: -1 * -2 * 3.
E leggiamola da destra e immaginiamola come una azione da fare nel futuro.
Sappiamo che dobbiamo spostarci di una quantitá pari a tre.
Poi questa azione dobbiamo farla due volte all'indietro, il -2 appunto.
Ma poi sappiamo anche che dobbiamo rifarla tutta nella direzione in avanti, perché col -1 a sinistra bisogna immaginare che tutta la sequenza alla sua destra (-2 *3) va rigirata.
In soldoni, facciamo due volte un salto da tre passi nella direzione .....indietro...poi nuovamente indietro...quindi in AVANTI.
Confusi? Penso di sí.
Usiamo ora le nozioni intuitive di debito e credito. Questa é secondo me la spiegazione intuitivamente migliore.
Se dico -2 significa che ho 2 euro di debito.
Se dico +2 significa che ho 2 euro di credito.
Se dico 0 (zero), significa che non vanto né credito verso qualcuno, né soffro di debito verso nessuno.
3*(-2) significa che ho 3 volte un debito di 2. Quindi totale -6, cioé 6 euro di debito. Leggiamo la formula da DESTRA: ho -2, cioé due euro di debito, ripetuto tre volte.
-3*(-2), significa che ho inizialmente un debito di 2, contratto TRE volte, che poi si ritrasforma in credito perché ho un altro meno.
La moltiplicazione per meno trasforma un debito in un credito, e viceversa.
Se ho +5. ho 5 euro di credito. Moltiplico per meno 1, e trasformo il credito in debito, -5. Rimoltiplico per meno uno, il debito si ritrasforma in credito, col segno piú.
L'unico modo per cui questa operazione abbia senso é che -1 * -1 = +1
Con l'economia e la creazione dal nulla (ZERO) di debito e credito, abbiamo spiegato il prodotto meno per meno.
Quando una banca crea denaro dal nulla nel suo bilancio (inizialmente a zero), crea simultaneamente CREDITO e DEBITO. Ho creato un video che lo spiega a questo indirizzo.
Quando il CREDITO é ripagato, torna a zero. Non esiste piú nemmeno il DEBITO. Nel processo di ripianamento del debito, il denaro viene distrutto, cioé si ritorna nella situazione iniziale, a zero.
Per dare un senso piú matematico a questo post, in aritmetica menopermenofapiú é perché é l'unico modo per preservare la proprietá distributiva della moltiplicazione. E' l'unico modo, cioé, per avere operazioni che siano coerenti e non finiscano in contraddizione.
Nella nostra spiegazione intuitiva, é l'unico modo che abbia senso per rovesciare un punto di vista, ovvero vedere un debito come un credito, e viceversa.
Per chiudere: 13 anni di scuola dell'obbligo e mai che mi abbiano spiegato perché meno per meno fa piú.
Tecnologia, Finanza e Storia dovrebbero essere studiate come un tutt'uno alle superiori.
Ma noi ci teniamo questo qua.
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